Lý thuyết so sánh phân số cần nắm vững
Không đơn thuần như so sánh các số tự nhiên, để so sánh các phân số thì các em cần phải nắm vững lý thuyết sau đây:
So sánh các phân số cùng mẫu số
Khi so sánh các phân số có cùng mẫu số, thì:
-
Phân số nào có tử số bé hơn thì phân số đó bé hơn.
-
Phân số nào có tử số lớn hơn thì phân số đó lớn hơn.
-
Tử số của hai phân số bằng nhau thì hai phân số bằng nhau
Ví dụ: 1/2 > 1/4; 2/7 < 2/5; 5/6 = 5/6
So sánh các phân số cùng tử số
Khi so sánh các phân số có cùng tử số, thì:
-
Mẫu số của phân số nào bé hơn thì phân số đó sẽ lớn hơn.
-
Mẫu số của phân số nào lớn hơn thì phân số đó sẽ bé hơn.
-
Nếu mẫu số của 2 phân số bằng nhau thì so sánh tử số.
Ví dụ: 1/2 > 1/4; 2/7 < 2/5; 5/6 = 5/6
So sánh các phân số khác mẫu
Để so sánh các phân số khác mẫu thì ta sẽ thực hiện theo các cách sau đây:
Cách 1: Quy đồng mẫu số hai phân số rồi so sánh tử số.
Xem chi tiết bài các cách giải bài tập quy đồng mẫu số
Ví dụ: So sánh hai phân số 2/3 và 5/7
Hướng dẫn giải:
Ta có mẫu số chung là 21
Quy đồng mẫu số hai phân số ta có
2/3 = (2×7)/(3×7) = 14/21;
5/7 = (5 × 3) / (7×3) = 15/21
Ta thấy hai phân số 14/21 và 15/21 đều có mẫu số là 21 và 14 < 15 nên 14/21 < 15/21
Vậy: 2/3 < 5/7
Cách 2: Quy đồng tử số
Trường hợp hai phân số có mẫu số khác nhau nhưng số rất lớn, cùng tử số nhỏ thì ta có thể áp dụng cách quy đồng tử số để so sánh dễ hơn. Cũng tương tự như cách 1, để so sánh 2 phân số khác tử số thì ta có thể quy đồng tử số rồi so sánh các mẫu số của hai phân số mới.Ví dụ: So sánh hai phân số: 21/23 và 31/85
Hướng dẫn giải:
Ta có: thừa số chung là 6.
Khi quy đồng tử số hai phân số ta có
2/123 = (2×3) / (123×3) = 6/369;
3/185 = (3×2) / (185×2) = 6/370
Lúc này ta thấy, hai phân số 6/369 và 6/370 đều có tử số là 6
Đồng thời 369 < 370 nên 6/369 > 6/370
Vậy 2/123 > 3/185
Để so sánh hai phân số ngoài cách quy đồng tử hoặc mẫu số. Tùy một số trường hợp cụ thể, đặc điểm của phân số để mọi người có thể áp dụng phương pháp riêng.
Các phương pháp so sánh phân số cần nhớ
Để giải bài tập so sánh phân số, các em có thể áp dụng ngay những phương pháp sau đây:
Phương pháp 1: Dùng số 1 làm trung gian
Nếu a/b > 1 và c/d < 1 thì a/b > c/dỞ phương pháp này, ta sẽ sử dụng số 1 làm trung gian khi thấy phân số này tử số lớn hơn mẫu số và phân số kia có tử số bé hơn mẫu số.
Ví dụ: So sánh hai phân số 2017/2018 và 2016/2015
Hướng dẫn giải:
Vì 2017/2018 < 1 và 2016/2015 > 1 nên 2017/2018 < 2016/2015
Phương pháp 2: Dùng một phân số làm trung gian
Ta sẽ dùng phương pháp dùng một phân số làm trung gian để so sánh hai phân số kia. Có hai trường hợp sẽ xảy ra:
Trường hợp 1: Nếu tử số của phân số này nhỏ hơn tử số của phân số kia, cùng mẫu số của phân số này lớn hơn mẫu số của phân số kia.
Ví dụ: So sánh hai phân số 15/37 và 18/31
Hướng dẫn giải:
Cách 1:
Xét phân số trung gian 15/31 (Ta thấy tử số của phân số này là tử số của phân số thứ nhất, cùng mẫu số là mẫu số của phân số thứ hai).
Vì 15/37 < 15/31 và 15/31 < 18/31 nên 15/37 < 18/31
Cách 2:
Xét phân số trung gian 18/37 (Ta lấy tử số là tử số của phân số thứ hai, có mẫu số là mẫu số của phân số thứ nhất).
Vì 18/31 > 18/37 và 18/37 > 15/37 nên 18/31 > 15/37
Trường hợp 2: Nếu tử và mẫu số của phân số này bé hơn tử và mẫu số của phân số kia, nhưng cả hai gần bằng nhau với một phân số nào đó thì ta có thể chọn đó làm phân số trung gian.
Ví dụ: So sánh hai phân số 3/8 và 4/13
Hướng dẫn giải:
Ta thấy cả hai phân số 3/8 và 4/13 đều gần bằng 1/3. Nên ta có thể chọn 1/3 làm phân số trung gian. Ta có:
3/8 > 3/9 = 1/3 nên 3/8 > 1/3 (1);
4/13 < 4/12 == 1/3 nên 4/13 < 1/3 (2);
Từ (1) và (2) suy ra: 3/8 > 4/13
Phương pháp 3: So sánh “phần thừa” của hai phân số
Nếu 1/b = m + M; c/d = m + N mà M > N thì a/b > c/dTheo đó, M và N theo thứ tự sẽ được gọi là “phần thừa” so với m của hai phân số. Lúc này ta sẽ dùng “phần thừa” này để so sánh hai phân số theo các trường hợp sau:
Trường hợp 1: Nếu cả hai phân số đều có tử lớn hơn mẫu, hiệu của tử và mẫu số của hai phân số đều bằng nhau thì ta sẽ so sánh “phần thừa” so với 1 của hai phân số đó.
Ví dụ: So sánh hai phân số 79/76 và 86/83
Hướng dẫn giải:
Ta có:
79/76 = 1 + 3/76;
86/83 = 1 + 3/83
vì 3/76 > 3/83 nên 79/76 > 86/83
Trường hợp 2: phân số có “phần thừa” so với 1 khác nhau, phân số nào có phần thừa lớn hơn thì suy ra phân số đó cũng sẽ lớn hơn.
Ví dụ: So sánh hai phân số 43/14 và 10/3
Hướng dẫn giải:
Ta tiến hành lấy tử chia cho mẫu số: 43 : 14 = 3 ( dư 1), 10:3 = 3 (dư 1).
Ta chọn phần nguyên của kết quả thương làm số chung là 3
Tiến hành thực hiện phép trừ: 43/14 - 3 = 1/14; 10/3 - 3 = 1/3
Lúc này ta có: 43/14 = 3 + 1/14; 10/3 = 3 + 1/3. Vì 1/3 > 1/14 nên 43/14 < 10/3
Trường hợp 3: Nếu cả hai phân số đều có tử số bé hơn mẫu số, nếu lấy mẫu số chia cho tử số ở cả 2 phân số thì ta sẽ có kết quả bằng nhau.
Ví dụ: So sánh hai phân số 13/41 và 19/71
Hướng dẫn giải:
Đầu tiên, ta sẽ lấy mẫu số chia cho tử số là: 41:13=3 (dư 2); 71:19=3 (dư 14).
Tiếp theo, chọn mẫu số của phân số chung bằng cách lấy phần nguyên của thương cộng sẽ là
1 : 3 + 1 = 4 (có 1/4)
Thực hiện phép trừ: 13/41−1/4 = 11/164 và 19/71 - 1/4 = 5/284
Vậy ta có: 13/41 = 1/4 + 11/164 và 19/71 = 1/4 + 5/284
Vì: 5/284 < 11/284 < 11/164 nên 19/71 < 13/41
Phương pháp 4: So sánh “phần thiếu” của hai phân số
Trường hợp a/b = m - M; c/d = m - N mà M > N thì a/b < c/dTheo đó, M và N chính là “phần bù” hay “phần thiếu” so với m của 2 phân số đó.
Vậy nên, ta sẽ dùng phần bù này để so sánh hai phân số theo các trường hợp sau:
Trường hợp 1: Nếu cả 2 phân số đều có tử nhỏ hơn mẫu và hiểu của mẫu và tử của cả hai đều bằng nhau thì ta sẽ so sánh phần bù so với 1 của cả hai phân số đó.
Ví dụ: So sánh hai phân số 42/43 và 58/59
Hướng dẫn giải:
Ta có: 1 - 42/43 = 1/43; 1 - 58/59= 1/59
Vì 14/3 > 1/59 nên 42/43 < 58/59
Nhận xét, nếu 2 phân số của phần thiếu tới đơn vị khác nhau, phân số nào có phần thiếu lớn hơn thì phân số đó sẽ nhỏ hơn.
Trường hợp 2: Cả 2 phân số đều có tử nhỏ hơn mẫu, nếu lấy mẫu chia cho tử ở cả hai phân số thì ta sẽ có thương bằng nhau.
Ví dụ: So sánh hai phân số 2/5 và 3/7
Hướng dẫn giải:
Lấy mẫu số chia cho tử số: 5:2 = 2 (dư 1); 7:3 = 2 7 (dư 1).
Lúc này, ta chọn mẫu số của phân số chung bằng việc lấy phần nguyên của thương. (có 1/2)
Ta thực hiện phép trừ: 1/2 - 2/5 = 1/10; 1/2 - 3/7 = 1/14
Vậy ta có: 2/5 = 1/2 - 1/10; 3/7 = 1/2 - 1/14
Vì 1/10 > 1/14 nên 2/5 < 3/7
Phương pháp 5: Nhân thêm cùng một số vào hai phân số
Ta sẽ dùng phương pháp nhân thêm cùng 1 số vào 2 phân số đã cho. Khi thấy tử số của 2 phân số đều bé hơn mẫu số và nếu lấy mẫu số chia cho tử số thì thương và số dư bằng nhau. Khi đó ta nhân cả 2 phân số cùng một số tự nhiên để đưa về dạng so sánh phần thiếu đến 1.Ví dụ: So sánh hai phân số 11/52 và 17/76
Hướng dẫn giải:
Ta thấy 2 phân số trên nếu lấy mẫu số chia cho tử số thì đều được thương bằng 4, dư 8 nên ta sẽ nhân 2 phân số với 4.
Ta có:
11/52 × 4 = 44/52; 17/76 × 4 = 68/76.1 - 44/52 = 8/52 ; 1 - 68/76 = 8/76
Vì 8/52 > 8/76 nên 44/52 < 68/76 hay 11/52 < 17/76
Phương pháp 6: Thực hiện “phép chia hai phân số”
Trong phép tính chia, nếu số bị chia lớn hơn số chia thì được thương lớn hơn 1, nếu số bị chia nhỏ hơn số chia thì sẽ được thương nhỏ hơn 1. Lúc này ta áp dụng phương pháp “chia hai phân số” khi thấy tử và mẫu số là những số không quá lớn, không tốn nhiều thời gian khi giải phép nhân ở cả tử và mẫu.
Ví dụ: So sánh hai phân số 2/23 và 9/41
Hướng dẫn giải:
Ta có: 2/23 : 9/41 = 2/23 × 41/9 = 82/207. Vì 82/207 < 1 nên 2/23 < 9/41
Phương pháp 7: Đảo ngược phân số để so sánh
Trong 2 phép chia số có số bị chia bằng nhau, phép chia nào có số lớn hơn thì thương sẽ nhỏ hơn. Lúc này, ta sẽ dùng phương pháp đảo ngược phân số khi thấy 2 phân số đều có tử bé hơn mẫu, nếu lấy mẫu chia cho tử thì sẽ có thương và số dư bằng nhau. Khi đó, ta tiến hành đảo ngược phân số để đưa về dạng so sánh phần bù.
Ví dụ: So sánh hai phân số 21/89 và 2003/8017
Ta thấy 2 phân số trên nếu lấy mẫu chia cho tử sẽ được thương bằng 4 và dư 5.
Ta có: 1 : 21/89 = 89/21; 1:2003/8017 = 8017/2003
mà 89/21 = 4 + 5/21; 8017/2003 = 4 + 5/2003
Vì 5/21 > 5/2003 nên 89/21 > 8017/2003
Suy ra 21/89 < 2003/8017
Bài tập so sánh hai phân số
Dựa vào những kiến thức chia sẻ trên, dưới đây sẽ là một số bài tập để các em có thể luyện tập:
Bí quyết học và giải bài tập so sánh các phân số hiệu quả
Để nâng cao hiệu quả học toán và giải bài tập so sánh hai phân số, bố mẹ có thể tham khảo và áp dụng những bí quyết được chia sẻ sau đây:
-
Nắm vững lý thuyết: Đối với phần so sánh các phân số cũng không quá khó nếu các em nắm chắc lý thuyết. Vậy nên, bố mẹ cần giải thích chi tiết, cũng như các cách giải bài tập để em có thể nắm rõ và thực hành hiệu quả hơn.
-
Nắm chắc các kiến thức liên quan: Để giải bài tập về so sánh các phân số sẽ có nhiều kiến thức liên quan như rút gọn phân số, quy đồng mẫu số, tìm hiểu về thừa số chung, thừa số riêng, mẫu số chung… Chính vì vậy, các em nên tìm hiểu rõ để giải toán chính xác hơn.
-
Luyện tập thường xuyên: Sau khi đã nắm vững lý thuyết, bố mẹ hãy cùng các bé thực hành nhiều hơn thông qua việc giải bài tập trên SGK, sách bài tập, tìm hiểu kiến thức trên internet, tham khảo nhiều bài tập nâng cao,… để qua đó giúp nâng cao khả năng tư duy toán học và ghi nhớ của bé tốt hơn.
-
Xây dựng nền tảng toán từ nhỏ cho bé cùng Monkey Math: Đây là ứng dụng dạy toán song ngữ dành cho trẻ mầm non và tiểu học, với nội dung xây dựng bám sát chương trình GDPT mới nhất. Cùng với bài học được giảng dạy dưới dạng video, hình ảnh hoạt họa ngộ nghĩnh nên giúp bé dễ dàng hiểu và ghi nhớ kiến thức. Kết hợp với hơn 10.000 hoạt động tương tác để bé vừa chơi, vừa học và hỗ trợ kích thích tư duy khi học toán tốt hơn. Chỉ với 2.000đ/ngày, bố mẹ hoàn toàn có thể giúp nâng cao năng lực học toán của bé tốt hơn.
Kết luận
Trên đây là những chia sẻ về kiến thức cơ bản của dạng toán so sánh phân số. Hy vọng với những thông tin trên sẽ giúp bé nâng cao hiệu quả học tập và đạt thành tích cao trong khi học và thi cử nhé.
