Bài toán xác định thiết diện

VnHocTap.com giới thiệu đến các em học sinh lớp 11 bài viết Bài toán xác định thiết diện, nhằm giúp các em học tốt chương trình Toán 11.

Nội dung bài viết Bài toán xác định thiết diện: Thiết diện. Phương pháp. Tìm các đoạn giao tuyến nối tiếp nhau của mặt cắt với hình chóp cho đến khi khép kín thành một đa giác phẳng. Đa giác đó chính là thiết diện cần tìm. Mỗi đoạn giao tuyến là cạnh của thiết diện. Các ví dụ rèn luyện kĩ năng. Ví dụ 1. Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình bình hành tâm O. Gọi M, N, P là ba điểm nằm trên AB, BC, SO. Tìm thiết diện của hình chóp với mặt phẳng (MNP). Vậy ta có các đoạn giao tuyến do mp (MNP) cắt các mặt của hình chóp. Do đó thiết diện cần tìm là ngũ giác MNRHG. Ví dụ 2. Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình thang với đáy lớn AD. Gọi M là một điểm trên cạnh SB. Tìm thiết diện của hình chóp được cắt bởi mặt phẳng (AMD) trong mp (SCD). Vậy thiết diện cần tìm là tứ giác AMND. Ví dụ 3. Cho hình chóp S.ABCD, E là một điểm trên cạnh BC, F là một điểm trên cạnh SD. a. Tìm giao điểm K của BF và mp (SAC). b. Tìm giao điểm J của EF và mp (SAC). c. Chứng minh ba điểm C, K, J thẳng hàng. d. Xác định thiết diện của hình chóp được cắt bởi mặt phẳng (BCF). K, J, C là ba điểm chung của hai mặt phẳng (BCF) và (SAC), suy ra chúng thẳng hàng. d. Trong mp(SAC) suy ra mp(BCF) = mp(BCFG). Vậy ta có các đoạn giao tuyến của mp (BCF) với các mặt của hình chóp là: BG = (BCF). Do đó thiết diện cần tìm là tứ giác BCFG. Ví dụ 4. Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình bình hành ABCD. Gọi M và N lần lượt là trung điểm của các cạnh SB và AD; G là trọng tâm tam giác SAD. Đường thẳng BN cắt CD tại K. a. Chứng minh ba điểm M, G, K thẳng hàng. b. Tìm thiết diện của hình chóp cắt bởi mặt phẳng (MCG). Tính tỉ số mà thiết diện chia đoạn SA. Từ đó cho biết thiết diện là hình gì? a. Ta có SN là đường trung tuyến của tam giác SAD. G là trọng tâm của tam giác SAD nên SN là đường trung tuyến của tam giác SBK. Ta lại có MK là đường trung tuyến của tam giác SBK. Do đó KM đi qua trọng tâm G. Vậy ba điểm M, G, K thẳng hàng. b. Do ba điểm M, G, K thẳng hàng nên mp(MCG) = mp(MCK). Trong mp(SAD) thiết diện cần tìm là tứ giác MCDQ. Vì G là trọng tâm tam giác SAD nên DG là đường trung tuyến của tam giác SAD. Do đó Q là trung điểm của SA. Vậy thiết diện chia đoạn SA theo tỉ số 2 : 1. Như vậy MQ là đường trung bình của tam giác SAB. Do đó MQ || AB, mà AB || CD nên MQ || CD. Vậy thiết diện MCDQ là hình thang. 3. Bài tập trắc nghiệm Câu 1: Cho tứ diện ABCD. Gọi M, N lần lượt là trung điểm các cạnh AB và AC, E là điểm trên cạnh CD với ED = 3EC. Thiết diện tạo bởi mặt phẳng (MNE) và tứ diện ABCD là: Tam giác ABC có M, N lần lượt là trung điểm của AB, AC. Suy ra MN là đường trung bình của tam giác ABC = MN || BC. Từ E kẻ đường thẳng d song song với BC và cắt BD tại F = EF // BC. Do đó MN // EF suy ra bốn điểm M, N, E, F đồng phẳng và MNEF là hình thang. Vậy hình thang MNEF là thiết diện cần tìm.