Bài 1 trang 43 sách sgk giải tích 12

Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của các hàm số bậc ba sau:

a) (y{rm{ }} = {rm{ }}2{rm{ }} + {rm{ }}3x{rm{ }}-{rm{ }}{x^3}) ; b) (y{rm{ }} = {rm{ }}{x^3} + {rm{ }}4{x^2} + {rm{ }}4x);

c) (y{rm{ }} = {rm{ }}{x^3} + {rm{ }}{x^2} + {rm{ }}9x) ; d) (y{rm{ }} = {rm{ }}-2{x^3} + {rm{ }}5) ;

Giải:

Câu a:

Xét hàm số (y{rm{ }} = {rm{ }}2{rm{ }} + {rm{ }}3x{rm{ }}-{rm{ }}{x^3})

Tập xác định: (D=mathbb{R}.)

Sự biến thiên:

Đạo hàm: (y' = 3- 3x^2) .

Ta có: (y' = 0 ⇔ x = ± 1) .

Vậy hàm số đồng biến trên các khoảng ((-1;1)), nghịch biến trên các khoảng (left( { - infty ; - 1} right)) và (left( {1; + infty } right).)

Cực trị: Hàm số đạt cực đại tại (x=1), giá trị cực đại

(y)CĐ=(y(1)=4), đạt cực tiểu tại (x=-1) và

(y)CT=(y(-1)=0).

Giới hạn: (mathop {lim }limits_{x to - infty } y = + infty ;,,mathop {lim }limits_{x to + infty } y = - infty)

Bảng biến thiên:

Đồ thị cắt trục (Ox) tại các điểm ((2;0)) và ((-1;0)), cắt (Oy) tại điểm ((0;2)).

Đồ thị:

Ta có: (y''=6x); (y''=0 ⇔ x=0). Với (x=0) ta có (y=2). Vậy đồ thị hàm số nhận điểm (I(0;2)) làm tâm đối xứng.

Nhận thấy, nhánh bên trái vẫn còn thiếu một điểm để vẽ đồ thị, dựa vào tính đối xứng ta chọn điểm của hoành độ (x=-2) suy ra (y=4).

Câu b:

Xét hàm số (y{rm{ }} = {rm{ }}{x^3} + {rm{ }}4{x^2} + {rm{ }}4x)

Tập xác định: (D=mathbb{R}.)

Sự biến thiên:

Đạo hàm: (y' = 3x^2+ 8x + 4).

(y' = 0 Leftrightarrow left[ begin{array}{l} x = - 2 x = - frac{2}{3} end{array} right.)

Hàm số đồng biến trên các khoảng (left( { - infty ; - 2} right)) và (left( { - frac{2}{3}; + infty } right)) và nghịch biến trên (left( { - 2; - frac{2}{3}} right).)

Cực trị:

Hàm số đạt cực đại tại (x=-2), giá trị cực đại (y)cđ = (y(-2) = 0).

Hàm số đạt cực tiểu tại (x=-frac{2}{3}), giá trị cực tiểu (y_{ct}=yleft ( -frac{2}{3} right )=-frac{32}{27}.)

Giới hạn: (mathop {lim }limits_{x to - infty } y = - infty ;,,mathop {lim }limits_{x to + infty } y = + infty).

Bảng biến thiên:

Đồ thị hàm số cắt trục (Oy) tại điểm ((0;0)), cắt trục (Ox) tại điểm có hoành độ là nghiệm của phương trình: ({x^3} + 4{x^2} + 4x = 0⇔ x=0) hoặc (x=-2) nên tọa độ các giao điểm là ((0;0)) và ((-2;0)).

Đồ thị hàm số:

Tâm đối xứng của đồ thị hàm số: (y''=6x+8;)(y''=0Leftrightarrow x=-frac{4}{3}Rightarrow y=-frac{16}{27}.)

Câu c:

Xét hàm số (small y = x^3 + x^2+ 9x)

Tập xác định: (D=mathbb{R}.)

Sự biến thiên:

Đạo hàm: (y' = 3x^2+ 2x + 9 > 0, ∀x).

Vậy hàm số luôn đồng biến trên (mathbb{R}) và không có cực trị.

Giới hạn: (mathop {lim }limits_{x to - infty } y = - infty ;,,mathop {lim }limits_{x to + infty } y = + infty).

Bảng biến thiên :

Đồ thị:

Đồ thị hàm số cắt trục (Ox) tại điểm ((0;0)), cắt trục (Oy) tại điểm ((0;0)).

Đồ thị hàm số có tâm đối xứng là điểm có hoành độ là nghiệm của phương trình (y''=0 ⇔ 6x+2=0 ⇔) (x=-frac{1}{3}.) Suy ra tọa độ tâm đối xứng là: (Ileft ( -frac{1}{3};-frac{79}{27} right ).)

Lúc này ta vẫn chưa có đủ điểm để vẽ đồ thị hàm số, ta cần lấy thêm hai điểm có hoành độ cách đều hoành độ (x_1) và (x_2) sao cho (left| {{x_1} - left( { - frac{1}{3}} right)} right| = left| {{x_2} - left( { - frac{1}{3}} right)} right|), khi đó hai điểm này sẽ đối xứng nhau qua điểm uốn. Ta chọn các điểm ((-1;-9)) và (left ( frac{1}{2};frac{39}{8} right ).)

Câu d:

Xét hàm số (y=-2x^3+5)

Tập xác định: (D=mathbb{R}.)

Sự biến thiên:

Đạo hàm: (y' = -6x^2≤ 0, ∀x).

Vậy hàm số luôn nghịch biến trên (mathbb R).

Hàm số không có cực trị.

Giới hạn: (mathop {lim }limits_{x to - infty } y = + infty ;,,mathop {lim }limits_{x to + infty } y = - infty)

Bảng biến thiên:

Đồ thị:

Tính đối xứng: (y''=-12x; y''=0 ⇔ x=0). Vậy đồ thị hàm số nhận điểm uốn (I(0;5)) làm tâm đối xứng.

Đồ thị hàm số cắt trục (Oy) tại điểm ((0;5)), đồ thị cắt trục (Ox) tại điểm (left( {sqrt[3]{{frac{5}{2}}};0} right).)

Bài 2 trang 43 sách sgk giải tích 12

Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của các hàm số bậc bốn sau:

a) (y=- {x^4} + 8{x^{2}}-1); b) (y= {x^4} - 2{x^2} + 2);

c) (y = {1 over 2}{x^4} + {x^2} - {3 over 2}); d) (y = - 2{x^2} - {x^4} + 3).

Giải:

a) Tập xác định: (mathbb R) ;

Sự biến thiên:

(y' =-4x^3+ 16x = -4x(x^2- 4));

( y' = 0 ⇔ x = 0, x = ±2) .

- Hàm số đồng biến trên khoảng ((-infty;-2)) và ((0;2)); nghịch biến trên khoảng ((-2;0)) và (2;+infty)).

- Cực trị:

Hàm số đạt cực đạt tại hai điểm (x=-2) và (x=2); (y_{CĐ}=y(pm 2)=15).

Hàm số đạt cực tiểu tại (x=0); (y_{CT}=-1)

- Giới hạn:

(mathop {lim y}limits_{x to pm infty } = - infty )

Bảng biến thiên :

Đồ thị giao (Oy) tại điểm ((0;-1))

Hàm số đã cho là hàm số chẵn nhận trục (Oy) làm trục đối xứng.

Đồ thị

b) Tập xác định: (mathbb R);

Sự biến thiên:

(y' =4x^3- 4x = 4x(x^2- 1));

(y' = 0 ⇔ x = 0, x = ±1) .

- Hàm số đồng biến trên khoảng ((-1;0)) và ((1;+infty)); nghịch biến trên khoảng ((-infty;-1)) và ((0;1)).

- Cực trị:

Hàm số đạt cực đại tại (x=0); (y_{CĐ}=2).

Hàm số đạt cực tiểu tại hai điểm (x=-1) và (x=1); (y_{CT}=y(pm 1)=1).

-Giới hạn:

(mathop {lim y}limits_{x to pm infty } = + infty )

Bảng biến thiên :

Hàm số đã cho là hàm số chẵn nhận trục (Oy) làm trục đối xứng.

Đồ thị giao (Oy) tại điểm ((0;2))

Đồ thị

c) Tập xác định: (mathbb R);

Sự biến thiên:

(y' =2x^3+ 2x = 2x(x^2+1));

(y' = 0 ⇔ x = 0).

- Hàm số nghịch biến trên khoảng ((-infty;0)); đồng biến trên khoảng ((0;+infty)).

-Cực trị:

Hàm số đạt cực tiểu tại (x=0); (y_{CT}={-3over 2})

-Giới hạn:

(mathop {lim y}limits_{x to pm infty } = + infty )

Bảng biến thiên :

Hàm số đã cho là hàm số chẵn, nhận trục (Oy) làm trục đối xứng.

Đồ thị giao (Ox) tại hai điểm ((-1;0)) và ((1;0)); giao (Oy) tại ((0;{-3over 2})).

Đồ thị như hình bên.

d) Tập xác định: (mathbb R);

Sự biến thiên:

(y' = -4x - 4x^3= -4x(1 + x^2));

(y' = 0 ⇔ x = 0).

- Hàm số đồng biến trên khoảng: ((-infty;0)); nghịch biến trên khoảng: ((0;+infty)).

- Cực trị: Hàm số đạt cực đạt tại (x=0); (y_{CĐ}=3).

- Giới hạn:

(mathop {lim y}limits_{x to pm infty } = -infty )

Bảng biến thiên :

Hàm số đã cho là hàm chẵn, nhận trục (Oy) làm trục đối xứng.

Đồ thị giao (Ox) tại hai điểm ((1;0)) và ((-1;0)); giao (Oy) tại điểm ((0;3)).

Đồ thị như hình bên.

Bài 3 trang 43 sách sgk giải tích 12

Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của các hàm số phân thức:

a) ({{x + 3} over {x - 1}}) ,

b) ({{1 - 2{rm{x}}} over {2{rm{x}} - 4}}) ,

c) ({{ - x + 2} over {2{rm{x}} + 1}})

Giải:

a) Tập xác định : (mathbb R{rm{backslash { }}1});

* Sự biến thiên:

(y' = {{ - 4} over {{{(x - 1)}^2}}} < 0,forall x ne 1) ;

- Hàm số nghịch biến trên khoảng: ((-infty;1)) và ((1;+infty)).

- Cực trị:

Hàm số không có cực trị.

- Tiệm cận:

(mathop {lim y}limits_{x to {1^ - }} = - infty ), (mathop {lim y}limits_{x to {1^ + }} = +infty)

(mathop {lim y}limits_{x to pm infty } = 1)

Do đó, tiệm cận đứng là: (x = 1); tiệm cận ngang là: (y = 1).

Bảng biến thiên:

* Đồ thị:

Đồ thị nhận điểm (I(1;1)) làm tâm đối xứng.

Đồ thị giao trục tung tại:((0;-3)), trục hoành tại ((-3;0))

b) Tập xác định : (mathbb R backslash {rm{{ }}2} );

* Sự biến thiên:

(y' = {6 over {{{left( {2{rm{x}} - 4} right)}^2}}} > 0,forall x ne 2)

- Hàm số đồng biến trên khoảng: ((-infty;2)) và ((2;+infty))

- Cực trị:

Hàm số không có cực trị.

- Tiệm cận:

(mathop {lim y}limits_{x to {2^ - }} = + infty ), (mathop {lim y}limits_{x to {2^ + }} = - infty ), (mathop {lim y}limits_{x to pm infty } = - 1)

Do đó, tiệm cận đứng là: (x = 2); tiệm cận ngang là:( y = -1).

Bảng biến thiên :

* Đồ thị:

Đồ thị nhận điểm (I(2;-1)) lầm tâm đối xứng.

Đồ thị giao trục tung tại: (left( {0; - {1 over 4}} right)), trục hoành tại: (left( {{1 over 2};0} right))

c) Tập xác định : (Rbackslash left{ { - {1 over 2}} right});

Sự biến thiên:

(y' = {{ - 5} over {{{left( {2{rm{x}} + 1} right)}^2}}} < 0,forall x ne - {1 over 2})

- Hàm số nghịch biến trên khoảng: ((-infty;{-1over 2})) và (({-1over 2};+infty))

- Cực trị:

Hàm số không có cực trị.

- Tiệm cận:

(mathop {lim y}limits_{x to - {{{1 over 2}}^ - }} = - infty ), (mathop {lim y}limits_{x to - {{{1 over 2}}^ + }} = + infty ), (mathop {lim y}limits_{x to pm infty } = - {1 over 2})

Do đó, tiệm cận đứng là: (x = - {1 over 2}); tiệm cận ngang là: (y = - {1 over 2}).

Bảng biến thiên :

* Đồ thị

Đồ thị nhận điểm (I( - {1 over 2}; - {1 over 2})) làm tâm đối xứng.

Đồ thị giao (Ox) tại: ((2;0)), (Oy) tại: ((0;2))

Giaibaitap.me