Công thức Chứng minh đường thẳng song song với mặt phẳng - Toán lớp 11
I. Lý thuyết về vị trí tương đối của đường thẳng và mặt phẳng
1) Vị trí tương đối của đường thẳng và mặt phẳng
Tùy theo số giao điểm chung của d và α, ta có 3 trường hợp sau:
2) Tính chất đường thẳng song song với mặt phẳng
Định lý 1:
Nếu đường thẳng a không nằm trong mặt phẳng (P) và song song với một đường thẳng nào đó trong (P) thì a song song với (P).
Tức là: a⊄Pa∥dd⊂P⇒a∥P.
Định lý 2:
Cho đường thẳng a song song với mặt phẳng (P). Nếu mặt phẳng (Q) chứa a và cắt (P) theo một giao tuyến d thì a song song với d.
Tức là: a∥Pa⊂QQ∩P=d⇒ a∥d.
Hệ quả:
Nếu hai mặt phẳng phân biệt cùng song song với một đường thẳng thì giao tuyến (nếu có) của chúng song song với đường thẳng đó.
Tức là: P∩Q=dP∥aQ∥a⇒ d∥a.
Định lý 3:
Cho hai đường thẳng chéo nhau. Có duy nhất một mặt phẳng chứa đường thẳng này và song song với đường thẳng kia.
II. Điều kiện dể đường thẳng song song với mặt phẳng
Phương pháp chứng minh đường thẳng song song với mặt phẳng
Để chứng minh đường thẳng a song song với (P), ta chứng minh a song song với một đường thẳng d nằm trong (P)
Tức là: a⊄Pa∥dd⊂P⇒a∥P.
Ví dụ minh họa
Ví dụ 1: Cho tứ diện ABCD. Lấy G là trọng tâm tam giác ABD. Gọi M là một điểm trên cạnh BC sao cho MB = 2MC. Chứng minh MG // (ACD).
Lời giải
Gọi N là trung điểm của AD
+ Vì G là trọng tâm tam giác ABD nên BGBN=23
+ Xét tam giác BCN có: BMBC=BGBN=23 nên MG // NC
Ta có:MG⊄ACDMG//NCNC⊂ACD⇒MG//ACD
Ví dụ 2: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là một hình bình hành. Gọi G là trọng tâm tam giác SAB, I là trung điểm của AB và M là điểm trên cạnh AD sao cho AM=13AD
a) Đường thẳng đi qua M và song song với AB cắt CI tại N. Chứng minh NG // (SCD).
b) Chứng minh MG // (SCD).
Lời giải
a) + Hình bình hành ABCD có MJ // AB // CD và AMAD=13
Nên INIC=BJBC=AMAD=13
+ G là trọng tâm tam giác SAB nên IGIS=13
+ Xét tam giác ISC có: IGIS=INIC=13 nên GN // SC
Ta có:GN⊄SCDGN//SCSC⊂SCD⇒GN//SCD
b) Kéo dài MI cắt CD tại E
+ Ta có AI // ED nên IMIE=AMMD=12
+ Xét tam giác SIE có: IMEM=IGGS=12 nên MG // SE
Ta có:MG⊄SCDMG//SESE⊂SCD⇒MG//SCD
III. Bài tập tự luyện
Câu 1. Cho hình chóp tứ giác S.ABCD. Gọi M và N lần lượt là trung điểm của SA và SC. Khẳng định nào sau đây đúng?
A. MN // (ABCD)
B. MN // (SAB)
C. MN // (SCD)
D. MN // (SBC)
Câu 2. Cho tứ diện ABCD. Gọi G là trọng tâm của tam giác ABD, Q thuộc cạnh AB sao cho AQ = 2QB, P là trung điểm của AB. Khẳng định nào sau đây đúng?
A. MN // (BCD)
B. QG // (BCD)
C. MN cắt (BCD)
D. Q thuộc mặt phẳng (BCD)
Đáp án: 1A, 2B
Xem thêm tổng hợp công thức môn Toán lớp 9 đầy đủ và chi tiết khác:
Công thức phép đồng dạng
Công thức Giao tuyến của ba mặt phẳng và hệ quả
Công thức Chứng minh hai đường thẳng song song trong không gian
Công thức Chứng minh hai mặt phẳng song song
Định lý Ta-lét trong không gian
